13277. В треугольнике ABC
взяты точки M
, N
и P
; M
и N
— на сторонах AC
и BC
соответственно, P
— на отрезке MN
, причём AM:MC=CN:NB=MP:PN
. Найдите площадь треугольника ABC
, если площади треугольников AMP
и BNP
равны T
и Q
.
Ответ. (\sqrt[{3}]{{T}}+\sqrt[{3}]{{Q}})^{3}
.
Решение. Обозначим \frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NB}=\frac{MP}{PN}=\lambda
. Тогда (см. задачу 3000)
S_{\triangle MCP}=\frac{CM}{AM}S_{\triangle AMP}=\frac{T}{\lambda},~S_{\triangle NCP}=\frac{CN}{BN}S_{\triangle BNP}=\lambda Q,
S_{\triangle MCP}=\frac{MP}{PN}S_{\triangle NCP}=\lambda\cdot\lambda Q=\lambda^{2}Q.
Из равенства \frac{T}{\lambda}=\lambda^{2}Q
получаем, что T=\lambda^{3}Q
. Следовательно, \lambda=\frac{\sqrt[{3}]{{T}}}{\sqrt[{3}]{{Q}}}
.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle ABC}=\frac{CA}{CM}\cdot\frac{CB}{CN}S_{\triangle MCN}=(\lambda+1)\cdot\frac{\lambda+1}{\lambda}\cdot(S_{\triangle MCP}+S_{\triangle NCP})=
=\frac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda}\cdot\left(\frac{T}{\lambda}+\lambda Q\right)=\frac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda}\cdot\left(\lambda^{2}Q+\lambda Q\right)=(\lambda+1)^{3}Q=
=\left(\frac{\sqrt[{3}]{{T}}}{\sqrt[{3}]{{Q}}}+1\right)^{3}Q=(\sqrt[{3}]{{T}}+\sqrt[{3}]{{Q}})^{3}.