13284. Вписанная окружность треугольника ABC
с углом B
, равным 60^{\circ}
, касается сторон AB
и BC
в точках A_{0}
и C_{0}
соответственно. Биссектрисы углов A
и C
пересекают (первый раз) вписанную окружность в точках A_{1}
и C_{1}
соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников AA_{0}A_{1}
и CC_{0}C_{1}
равноудалены от середины стороны AC
.
Решение. Пусть K
— середина не содержащей точки I
дуги AA_{0}
описанной окружности прямоугольного треугольника AA_{0}I
.
Докажем, что K
— центр окружности, описанной около треугольника AA_{0}A_{1}
. Действительно, эта точка равноудалена от точек A
и A_{0}
, а так как IK
— биссектриса вписанного угла AIA_{0}
(а значит, и биссектриса угла при вершине I
равнобедренного треугольника A_{0}IA_{1}
), то IK
— серединный перпендикуляр и к стороне A_{0}A_{1}
треугольника AA_{0}A_{1}
. Следовательно, K
— центр описанной окружности этого треугольника. Аналогично, середина L
не содержащей точки I
дуги CC_{0}
описанной окружности прямоугольного треугольника CC_{0}I
— центр описанной окружности треугольника CC_{0}C_{1}
.
Первый способ. Без ограничения общности будем считать, что \angle BAC\leqslant\angle BCA
. Пусть O_{a}
и O_{c}
— центры описанных окружностей прямоугольных треугольников AA_{0}I
и CC_{0}I
соответственно, т. е. середины их гипотенуз AI
и CI
, а M
— середина стороны AC
. Поскольку MO_{a}
и CO_{c}
— средние линии треугольника AIC
, то
MO_{a}=O_{c}I=LO_{c},~KO_{a}=O_{a}I=MO_{c}.
Из параллельности прямых MO_{a}
и CI
, а также прямых O_{a}K
и IA_{0}
(обе они перпендикулярны AA_{0}
) получаем
\angle MO_{a}K=\angle CIA_{0}=\angle CIC_{0}+\angle C_{0}IA_{0}=\angle CIC_{0}+120^{\circ}.
Аналогично,
\angle LO_{c}M=\angle C_{0}IA=\angle CIC_{0}+\angle CIA=\angle CIC_{0}+120^{\circ}.
Значит, треугольники MO_{a}K
и LO_{c}M
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, MK=ML
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поскольку \angle A_{0}IC_{0}=\angle A_{1}IC_{1}=120^{\circ}
, то меньшие дуги A_{0}C_{0}
и A_{1}C_{1}
вписанной окружности треугольника ABC
равны. Следовательно, хорды A_{0}A_{1}
и C_{0}C_{1}
параллельны, поэтому точки K
, I
, L
лежат на одной прямой. При этом \angle AKI=90^{\circ}
. Тогда AKLC
— прямоугольная трапеция. Её средняя линия является серединным перпендикуляром к стороне KL
, значит, середина стороны AC
равноудалена от точек K
и L
. Отсюда следует утверждение задачи.