13294. Дан тупоугольный треугольник ABC
с тупым углом C
. На его сторонах AB
и BC
отмечены точки P
и Q
соответственно так, что \angle ACP=\angle CPQ=90^{\circ}
. Найдите длину отрезка PQ
, если известно, что AC=25
, CP=20
, \angle APC=\angle A+\angle B
.
Ответ. 16.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
и \angle B=\beta
. Тогда \angle APC=\alpha+\beta
. Поскольку CQP
— внешний угол треугольника BPQ
, а из параллельности PQ
и AC
следует, что \angle BPQ=\angle A=\alpha
, то
\angle CQP=\alpha+\beta=\angle APC.
Значит, прямоугольные треугольники CQP
и APC
подобны. Тогда \frac{PQ}{CP}=\frac{CP}{AC}
, откуда
PQ=\frac{CP^{2}}{AC}=\frac{20^{2}}{25}=16.