13296. Пусть CE
— биссектриса в остроугольном треугольнике ABC
. На внешней биссектрисе угла ACB
отмечена точка D
, а на стороне BC
— точка F
, причём \angle BAD=90^{\circ}=\angle DEF
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника CEF
, лежит на прямой BD
.
Решение. Во всех решениях ниже окружность, описанная около треугольника CEF
, обозначается через \omega
, а её центр — через O
.
Первый способ. Внешняя (CD
) и внутренняя (CE
) биссектрисы угла ACB
перпендикулярны (рис. 1). Тогда
\angle DAE=\angle DCE=90^{\circ},
значит, четырёхугольник ADCE
вписанный. Поэтому \angle ADE=\angle ACE
, откуда
\angle BEF=180^{\circ}-\angle AED-\angle DEF=
=90^{\circ}-\angle AED=\angle ADE=\angle ACE=\angle ECF.
Значит, окружность \omega
касается AB
в точке E
(см. задачу 144).
Выберем на отрезке BC
такую точку P
, что PE\parallel AC
. Тогда \angle PEC=\angle ECA=\angle PCE
, откуда PC=PE
. Поскольку OC=OE
, получаем, что PO
— биссектриса внешнего угла треугольника BPE
.
Рассмотрим гомотетию с центром B
, переводящую треугольник BPE
в треугольник BCA
. Прямая PO
(перпендикулярная CE
) перейдёт в прямую CD
, а прямая EO
(перпендикулярная AB
) — в прямую AD
. Значит, точка O
перейдёт в D
, откуда и следует, что точка O
лежит на BD
Второй способ. Выберем на прямых CD
и AC
такие точки D'
и F'
, что \angle ABD'=\angle D'EF'=90^{\circ}
(рис. 2). Как и выше, докажем, что окружность \omega
касается AB
. Аналогично, описанная окружность треугольника CEF'
также касается прямой AB
в точке E
(и тоже проходит через точку C
). Поэтому эти окружности совпадают, т. е. точка F'
лежит на окружности \omega
.
Докажем, что центр окружности \omega
— точка T
пересечения диагоналей BD
и AD'
трапеции ADD'B
. Заметим, что из вписанных четырёхугольников ADCE
и BD'CE
получаются равенства
\angle AED=\angle ACD=\angle BCD'=\angle BED',
поэтому прямоугольные треугольники AED
и BED'
подобны, и
\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BD'}=\frac{DT}{BT}.
Значит, ET\parallel AD\parallel BD'
.
Пусть прямые TE
и DD'
пересекаются в точке E'
. Поскольку E'
лежит на диаметре окружности \omega
, проходящем через точку E
, и \angle ECE'=90^{\circ}
, то точка E
лежит на этой окружности. Прямая EE'
параллельна основаниям трапеции и проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, поэтому отрезок EE'
делится точкой T
пополам (см. задачу 1512). Поскольку EE'
— диаметр окружности, получаем, что точки T
и O
совпадают.