13313. В трапеции ABCD
основание AD
в четыре раза больше основания BC
, а угол BCD
в два раза больше угла BAD
. Найдите отношение CD:PQ
, где PQ
— средняя линия трапеции.
Ответ. 6:5
.
Решение. Обозначим BC=a
, \angle BAD=\alpha
. Тогда AD=4a
, \angle BCD=2\alpha
.
Пусть прямая, проведённая через вершину C
данной трапеции, пересекает основание AD
в точке M
. Тогда ABCM
— параллелограмм, поэтому
\angle CMD=\angle BCM=\angle BAM=\alpha=\angle DCM.
Значит, треугольник CDM
равнобедренный с основанием CM
. Тогда
CD=DM=AD-AM=AD-BC=4a-a=3a,
а так как
PQ=\frac{BC+AD}{2}=\frac{a+4a}{2}=\frac{5a}{2},
то
\frac{CD}{PQ}=\frac{3a}{\frac{5a}{2}}=\frac{6}{5}.