13321. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность \omega
с центром в точке O
. Описанная окружность треугольника AOC
пересекает вторично прямые AB
, BC
, CD
и DA
в точках M
, N
, K
и L
соответственно. Докажите, что прямые MN
, KL
и касательные, проведённые к \omega
в точках A
и C
, касаются одной окружности.
Решение. Пусть \Omega
— описанная окружность треугольника AOC
. Напомним, что ориентированным углом (см. задачу 873) \angle(l,m)
между прямыми l
и m
называется угол, на который надо повернуть прямую l
, чтобы она стала параллельна m
(этот угол определён по модулю 180^{\circ}
).
Пусть касательные к \omega
в точках A
и C
пересекаются в точке P
, которая, очевидно, лежит на окружности \Omega
. Поскольку PA
— касательная, то \angle(PA,AB)=\angle(AC,CB)
, т. е. \angle(PA,AM)==\angle(AC,CN)
. Значит, ориентированные дуги PM
и AN
равны, откуда равны хорды PA
и MN
. Аналогично, PA=KL
. Равенство PA=PC
очевидно. Следовательно, хорды MN
, KL
, PA
и PC
равноудалены от центра окружности \Omega
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Приведённое решение не требует разбора различных вариантов расположения точек на окружностях. При более традиционном решении даже при оговорке, что достаточно рассматривать случай, когда точка B
лежит на большей дуге AC
, что позволяет избежать рассмотрения различных вариантов расположения точек D
, K
и L
, придётся рассматривать как минимум три варианта расположения точки B
:
1) точки M
и N
лежат на дуге APC
;
2) точки M
и N
лежат на дуге AOC
;
3) одна из точек M
, N
лежит на дуге AOC
, а другая — нет.