13347. Точка X
лежит строго внутри описанной около треугольника ABC
окружности. Обозначим через I_{B}
и I_{C}
центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон AC
и AB
соответственно. Докажите, что XI_{B}\cdot XI_{C}\gt XB\cdot XC
.
Решение. Обозначим через \Gamma
окружность с диаметром I_{B}I_{C}
Поскольку CI_{C}\perp CI_{B}
и BI_{C}\perp BI_{B}
, точки B
и C
лежат на \Gamma
.
Обозначим через I
центр вписанной окружности ABC
. Если точка X
лежит внутри угла BIC
, то углы XBI_{C}
и XCI_{B}
тупые, поэтому XI_{B}\gt XC
и XI_{C}\gt XB
(см. задачу 3499). Перемножив эти неравенства, получим требуемое.
В противном случае точки X
и A
лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC
. Продлим отрезки CX
и I_{B}X
до пересечения с \Gamma
в точках C_{1}
и Y
соответственно. Поскольку из точек B
и A
отрезок II_{C}
виден под прямым углом, четырёхугольник AI_{C}BI
вписан в окружность с диаметром II_{C}
, поэтому
\angle XC_{1}B=\angle CC_{1}B=\angle CI_{C}B=\angle II_{C}B=\angle IAB=
=\frac{1}{2}\angle CAB\lt\frac{1}{2}\angle CXB=\frac{1}{2}(\angle XC_{1}B+\angle XBC_{1}),
откуда \angle XC_{1}B\lt\angle XBC_{1}
, поэтому XC_{1}\gt XB
. Кроме того, поскольку длина хорды окружности не превосходит длины диаметра,
I_{B}X+XI_{C}\geqslant I_{B}I_{C}\geqslant IB_{Y}=I_{B}X+XY,
откуда XI_{C}\gt XY
. Учитывая, что XI_{B}\cdot XY=XC\cdot XC_{1}
как произведения отрезков пересекающихся хорд, получим
XI_{B}\cdot XI_{C}\geqslant XI_{B}\cdot XY=XC\cdot XC_{1}\gt XC\cdot XB.
Что и требовалось доказать.