1335. Пусть O
, Q
, M
и H
— соответственно центры описанной, вписанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот треугольника ABC
. Докажите, что если две любые из этих точек совпадают, то этот треугольник равносторонний.
Указание. Если медиана и биссектриса треугольника, проведённые из одной вершины, совпадают, то этот треугольник равнобедренный.
Решение. 1) Пусть совпадают точки O
и M
. Тогда каждый из трёх равных отрезков OA
, OB
и OC
равен \frac{2}{3}
соответствующей медианы. Значит, три медианы треугольника равны. Следовательно, этот треугольник равносторонний.
2) Пусть совпадают точки M
и Q
. Тогда, например, медиана и биссектриса треугольника ABC
, проведённые из вершины A
, совпадают, поэтому AB=AC
. Остальное аналогично.
3) Пусть совпадают точки O
и H
. Тогда, например, высота и медиана треугольника ABC
, проведённые из вершины A
, совпадают, поэтому AB=AC
. Остальное аналогично.
Аналогично рассматриваются остальные три случая.