13352. Остроугольный равнобедренный треугольник ABC
(AB=AC
) вписан в окружность с центром в точке O
. Лучи BO
и CO
пересекают стороны AC
и AB
в точках B'
и C'
соответственно. Через точку C'
проведена прямая l
, параллельная прямой AC
. Докажите, что прямая l
касается окружности, описанной около треугольника B'OC
.
Решение. Пусть прямая AO
пересекает прямую l
в точке T
. Из симметрии относительно прямой AO
получаем, что \angle B'TO=\angle C'TO
, а из параллельности l
и AC
—
\angle C'TO=\angle OAC=\angle OCA.
Значит, \angle B'TO=\angle B'CO
, поэтому точка T
лежит на окружности \omega
, описанной около треугольника B'OC
. Кроме того,
\angle OB'T=\angle OC'T=\angle OCA=\angle OTC'.
Следовательно (см. задачу 144), прямая C'T
касается окружности \omega
в точке T
.
Примечание. Можно заметить, что O
и T
— центры окружностей, описанных около треугольника B'C'T
и трапеции BCB'C'
соответственно.