13355. В треугольнике ABC
точки O
и H
— центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что BH
— биссектриса угла ABO
. Отрезок из точки O
, параллельный стороне AB
, пересекает сторону AC
в точке K
. Докажите, что AH=AK
.
Решение. Пусть D
— точка, симметричная точке H
относительно AC
. Точка D
лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 4785), поэтому
\angle ODB=\angle OBD=\angle HBA.
Следовательно, OD\parallel AB
, т. е. точка K
лежит на OD
и
\angle HKA=\angle OKC=\angle BAC.
С другой стороны (см. задачу 20),
\angle CBO=\angle HBA=90^{\circ}-\angle BAC,
значит,
\angle ABC=3\angle BAD=3(90^{\circ}-\angle BAC),~
\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC-\angle BAC=
=180^{\circ}-3(90^{\circ}-\angle BAC)-\angle BAC=2\angle BAC-90^{\circ},
\angle HAK=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-(2\angle BAC-90^{\circ})=180^{\circ}-2\angle BAC.
поэтому
\angle AHK=180^{\circ}-\angle HAK-\angle AKH=
=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\angle BAC)-\angle BAC=\angle BAC=\angle AKH.
Следовательно, AK=AH
.