13356. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности с центром I
. Точки O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников AID
и CID
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника O_{1}IO_{2}
лежит на биссектрисе угла B
четырёхугольника.
Решение. Заметим, что прямая O_{1}O_{2}
— серединный перпендикуляр к отрезку DI
, а так как IO_{1}O_{2}
— половина центрального угла IO_{1}D
описанной окружности треугольника AID
, и при этом IAD
— соответствующий вписанный угол этой окружности, то
\angle IO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle IO_{1}D=\angle IAD.
Аналогично, \angle IO_{2}O_{1}=\angle ICD
. Значит, для центра O
описанной окружности треугольника IO_{1}O_{2}
выполнено равенство
\angle OIO_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle IOO_{1}=90^{\circ}-\angle IO_{2}O_{1}=90^{\circ}-\angle ICD.
Кроме того,
\angle AIO_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle IO_{1}A=90^{\circ}-\angle IDA.
Значит,
\angle BIO_{1}+\angle OIO_{1}=\angle BIA+\angle AIO_{1}+\angle OIO_{1}=
=(180^{\circ}-\angle IAB-\angle IBA)+(90^{\circ}-\angle IDA)+(90^{\circ}-\angle ICD)=
=360^{\circ}-(\angle IAB+\angle IBA+\angle IDA+\angle ICD)=
=360^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAD+\angle ABC+\angle ADC+\angle BCD)=
=360^{\circ}-\frac{1}{2}360^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, точки B
, I
, O
лежат на одной прямой — прямой, содержащей биссектрису угла ABC
.