13357. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
проведена высота CD
. На отрезках AD
и CD
построены равносторонние треугольники AED
и CFD
, так что точка E
лежит в той же полуплоскости относительно прямой AB
, что и C
, а точка F
лежит в той же полуплоскости относительно прямой CD
, что и B
. Прямая EF
пересекает катет AC
в точке L
. Докажите, что FL=CL+LD
.
Решение. Из условия следует, что
FD=CD,~DE=AD,~\angle FDE=\angle FDC+\angle CDE=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}=\angle CDA.
Следовательно, треугольники FDE
и CDA
равны, поэтому
\angle DEL=\angle DEA=\angle DAC=\angle DAL.
Значит, точки A
, E
, L
и D
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы ALE
и ADE
опираются на одну и ту же дугу, значит,
\angle FLC=\angle ALE=\angle ADE=60^{\circ}.
Отложим на луче LC
отрезок LK=LF
. Поскольку треугольник LFK
равносторонний,
FK=FL~\mbox{и}~\angle KFL=\angle CFD=60^{\circ}.
Значит,
\angle KFC=\angle KFL-\angle CFL=60^{\circ}-\angle CFL=\angle DFC-\angle CFL=\angle DFL,
поэтому треугольники KFC
и LFD
равны по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, KC=LD
, что равносильно утверждению задачи.
Примечание. Утверждение задачи остаётся верным, если взять любой треугольник ABC
и любую точку D
на стороне AB
.