13366. В трапеции ABCD
основание BC
в два раза короче AD
. Внутри трапеции отмечена такая точка F
, что AB=FB
. Докажите, что прямая, соединяющая точку C
с серединой отрезка FD
, перпендикулярна FA
.
Решение. Первый способ. Отметим середины M
и N
отрезков DF
и AF
соответственно. По теореме о средней линии треугольника
MN=\frac{1}{2}AD=BC,~MN\parallel AD\parallel BC.
Противоположные стороны MN
и BC
четырёхугольника BCMN
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Тогда BN\parallel CM
, а так как треугольник ABF
равнобедренный, то его медиана BN
является высотой. Значит, BN\perp AF
. Следовательно, CM\perp AF
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть M
— середина отрезка DF
. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке K
. Из условия AD=2BC
следует, что BC
— средняя линия треугольника AKD
, поэтому C
— середина отрезка DK
. Тогда CM
— средняя линия треугольника DKF
, поэтому CM\parallel KF
. В то же время, BF=AB=BK
, значит, треугольник AFK
прямоугольный (см. задачу 1188), KF\perp AF
. Следовательно, CM\perp AF
. Что и требовалось доказать.