13367. На стороне AB
треугольника ABC
с углом C
, равным 108^{\circ}
, выбраны точки P
и Q
(P
между A
и Q
) таким образом, что периметр треугольника CPQ
равен стороне AB
. Оказалось, что центр описанной окружности остроугольного треугольника ACQ
лежит на описанной окружности треугольника PCQ
. Найдите угол PCQ
.
Ответ. 36^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ACQ
. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
. Из условия находим, что
\alpha+\beta=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}.
Центральный угол COQ
вдвое больше вписанного угла CAQ
, поэтому \angle COQ=2\alpha
. Четырёхугольник COPQ
вписан в окружность, поэтому
\angle CPQ=\angle COQ=2\alpha.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACP=\angle CPQ-\angle CAP=2\alpha-\alpha=\alpha,
значит, треугольник APC
равнобедренный, AP=CP
.
По условию
CP+PQ+CQ=AP+PQ+BQ,
поэтому
CP+CQ=AP+BQ=CP+BQ,
откуда BQ=CQ
, т. е. треугольник BQC
тоже равнобедренный. Значит, \angle BCQ=\angle CBQ=\beta
. Следовательно,
\angle PCQ=\angle ACB-\angle ACP-\angle BCQ=108^{\circ}-\alpha-\beta=108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}.