13394. Из точки O
выходят лучи l
, l_{1}
, l_{2}
, угол между l
и l_{2}
острый, луч l_{1}
лежит внутри этого угла. На луче l
лежит фиксированная точка F
и произвольная точка L
. Через точки F
и L
проходят окружность, касающаяся луча l_{1}
в точке L_{1}
, и окружность, касающаяся луча l_{2}
в точке L_{2}
. Докажите, что окружность, проходящая через точки F
, L_{1}
и L_{2}
, проходит через некоторую точку, отличную от точки F
и не зависящую от выбора точки L
.
Решение. По теореме о касательной и секущей
OL_{1}^{2}=OF\cdot OL=OL_{2}^{2}~\Rightarrow~OL_{1}=OL_{2}.
Значит, серединный перпендикуляр к отрезку L_{1}L_{2}
содержит биссектрису угла L_{1}OL_{2}
, поэтому любая окружность, проходящая через точки L_{1}
и L_{2}
, симметрична относительно этой биссектрисы. Следовательно, окружность, проходящая через точки F
, L_{1}
и L_{2}
проходит через точку F'
, которая симметрична точке F
относительно биссектрисы угла L_{1}OL_{2}
.