13406. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE
. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
, E_{1}
таковы, что
AA_{1}\perp EB,~BB_{1}\perp AC,~CC_{1}\perp BD,~DD_{1}\perp CE,~EE_{1}\perp DA.
Кроме того,
AE_{1}=AB_{1},~BC_{1}=BA_{1},~CB_{1}=CD_{1},~DC_{1}=DE_{1}.
Докажите, что тогда ED_{1}=EA_{1}
.
Указание. См. задачу 2445.
Решение. Условие AA_{1}\perp EB
равносильно равенству
AB^{2}-AE^{2}=A_{1}B^{2}-A_{1}E^{2}
(см. задачу 2445). Аналогично,
BC^{2}-BA^{2}=B_{1}C^{2}-B_{1}A^{2},~CD^{2}-CB^{2}=C_{1}D^{2}-C_{1}B^{2},
DE^{2}-DC^{2}=D_{1}E^{2}-D_{1}C^{2},~EA^{2}-ED^{2}=E_{1}A^{2}-E_{1}D^{2}.
Сложим эти пять равенств. Слева получится 0, так как как каждая сторона один раз войдёт со знаком плюс и один раз со знаком минус, а справа, в силу равенств из условия, сократятся все слагаемые, кроме ED_{1}^{2}-EA_{1}^{2}
. Следовательно, эта разность равна 0, и ED_{1}
=EA_{1}
. Что и требовалось доказать.