13429. Пусть BH
— высота прямоугольного треугольника ABC
(\angle B=90^{\circ}
). Вневписанная окружность треугольника ABH
, противолежащая вершине B
, касается прямой AB
в точке A_{1}
; аналогично определяется точка C_{1}
. Докажите, что AC\parallel A_{1}C_{1}
.
Решение. Отрезки BA_{1}
и BC_{1}
равны полупериметрам треугольников ABH
и BCH
соответственно (см. задачу 1750). Эти треугольники подобны (см. задачу 2603), поэтому \frac{BA_{1}}{BC_{1}}=\frac{BA}{BC}
. Следовательно, AC\parallel A_{1}C_{1}
.