1344. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.
Указание. Геометрическое место точек X
, для которых разность AX^{2}-BX^{2}
постоянна, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку AB
. (См. также задачу 8291.)
Решение. Первый способ. Необходимость. Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
перпендикулярны. Если P
их точка пересечения, то по теореме Пифагора
AB^{2}-AP^{2}=BC^{2}-CP^{2},~\mbox{или}~AB^{2}-BC^{2}=AP^{2}-CP^{2}.
Аналогично докажем, что
AD^{2}-CD^{2}=AP^{2}-CP^{2}.
Следовательно,
AB^{2}-BC^{2}=AD^{2}-CD^{2},~\mbox{или}~AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}.
Достаточность. Пусть в четырёхугольнике ABCD
известно, что
AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}.
Тогда
AB^{2}-BC^{2}=AD^{2}-CD^{2}.
Рассмотрим отрезок AC
. Известно, что геометрическое место точек X
, для которых разность AX^{2}-CX^{2}
постоянна, есть прямая, перпендикулярная отрезку AB
(см. задачу 2445). Поскольку точки B
и D
удовлетворяют этому условию, они лежат на этой прямой. Следовательно, AC\perp BD
.
Второй способ. Необходимость. См. первый способ.
Достаточность. Пусть в четырёхугольнике ABCD
известно, что
AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2},
а диагонали AC
и BD
пересекаются в точке P
. Обозначим
PA=a,~PB=b,~PC=c,~PD=d,~\angle APB=\alpha.
Тогда
AB^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha,~CD^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos\alpha,~
BC^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(180^{\circ}-\alpha)=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\alpha,~
AD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos(180^{\circ}-\alpha)=a^{2}+d^{2}+2ad\cos\alpha,
а так как по условию AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}
, то
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2ab\cos\alpha+2cd\cos\alpha=b^{2}+c^{2}+a^{2}+d^{2}+2bc\cos\alpha+2ad\cos\alpha,
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2(ab+cd)\cos\alpha=b^{2}+c^{2}+a^{2}+d^{2}+2(bc+ad)\cos\alpha,
(ab+cd+bc+ad)\cos\alpha=0,
причём ab+cd+bc+ad\ne0
. Следовательно, \cos\alpha=0
и AC\perp BD
.
Третий способ. Для любых точек A
, B
, C
и D
плоскости (пространства) верно равенство
AB^{2}+CD^{2}-AD^{2}-BC^{2}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}
(см. задачу 8291). Следовательно,
AC\perp BD~\Leftrightarrow~AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.