13450. В четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle BAD=\angle BCD=90^{\circ}
. На диагонали BD
выбраны такие точки M
и N
так, что AN\parallel BC
и CM\parallel AB
. На сторонах AD
и CD
соответственно выбраны точки X
и Y
так, что \angle XNB=\angle YMB=90^{\circ}
. Докажите, что отрезок AC
равен полупериметру треугольника BXY
.
Решение. Поскольку из точек A
и C
отрезок BD
виден под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром BD
. Поскольку из точек C
и M
отрезок BY
виден под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром BY
. Значит, четырёхугольники ABCD
и BCYM
вписанные.
Пусть диагональ AC
пересекает отрезки BX
и CY
в точках E
и F
соответственно. Тогда
\angle FYC=\angle BYC=\angle BMC=\angle ABM=\angle ABD=\angle ACD=\angle FCY
Значит, треугольник CFY
равнобедренный, FC=FY
, и точка F
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CY
. Тогда по теореме Фалеса F
— середина отрезка BY
. Аналогично, E
— середина отрезка BX
. Таким образом, CF
и AE
— медианы прямоугольных треугольников BCY
и BAX
, проведённые из вершин прямых углов, а EF
— средняя линия треугольника BXY
. Следовательно,
AC=AE+EF+FC=\frac{1}{2}BX+\frac{1}{2}XY+\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}(BX+XY+FC).
Что и требовалось доказать.