13451. В трапеции ABCD
точка M
— середина боковой стороны AB
, AD=2BC
. Докажите, что прямая BD
проходит через середину отрезка CM
.
Решение. Первый способ. Пусть K
— середина диагонали BD
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ABD
, поэтому MK=\frac{1}{2}AD=BC
и прямая MK
параллельна AD
и BC
. Значит, MBCK
— параллелограмм, и его диагональ BK
делит отрезок CM
пополам. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямые CM
и AD
пересекаются в точке E
. Тогда треугольники CMB
и EMA
равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому EM=CM
и EA=CB
. Кроме того, в трапеции EBCD
точка F
пересечения диагоналей делит их в отношении оснований, т. е. EF:CF=ED:BC=3:1
. Следовательно, F
— середина отрезка CM
. Что и требовалось доказать.