13482. Пусть точки A
и B
лежат на данных лучах с началом C
, и при этом сумма CA+CB
постоянна. Докажите, что существует точка D
, которая лежит на описанной окружности треугольника ABC
при любом таком положении точек A
и B
.
Решение. Пусть A
и B
— фиксированные точки данных лучей, \Gamma
— описанная окружность треугольника ABC
, а биссектриса угла ACB
пересекает \Gamma
в точке D
. Докажем, что D
— искомая точка из условия задачи.
Пусть точка A'
лежит на продолжении отрезка CA
за точку A
, точка B'
— на отрезке CB
, и при этом AA'=BB'
. Тогда достаточно доказать, что точка D
лежит также на описанной окружности треугольника A'CB'
.
Поскольку DA=DB
, AA'=BB'
и \angle DAA'=\angle DBB'
(так как ACBD
— вписанный четырёхугольник), то треугольники ADA'
и BDB'
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\angle CA'D=\angle AA'D=\angle BB'D,
поэтому четырёхугольник A'DB'C
— вписанный. Следовательно, точка D
, лежащая на окружности \Gamma
, лежит и на описанной окружности треугольника A'CB'
. Что и требовалось доказать.