13483. Хорда AB
окружности с центром O
не является диаметром. Меньшая дуга AB
этой окружности разделена на три равные дуги AC
, CD
и DB
. Хорда AB
разделена на три равных отрезка AC'
, C'D'
и D'B
. Пусть P
— точка пересечения прямых CC'
и DD'
. Докажите, что \angle APB=\frac{1}{3}\angle AOB
.
Решение. Поскольку дуги AC
и BD
равны, прямые AB
и CD
параллельны (см. примечание к задаче 1678). Пусть прямые PA
и PB
пересекают прямую CD
в точках A'
и B'
соответственно. Тогда треугольник PAC'
подобен треугольнику PA'C
и треугольник PC'D'
подобен треугольнику PCD
, поэтому
\frac{AC'}{A'C}=\frac{PC'}{PC}=\frac{C'D'}{CD},
а так как AC'=C'D
, то A'C=CD=AC
. Значит,
\angle BAC=\angle ACA'=180^{\circ}-\angle CAA'-\angle CA'A=180^{\circ}-2\angle CA'A=
=180^{\circ}-\angle CA'A-\angle BB'D=\angle APB,
а так как точки C
и D
делят дугу AB
на три равные части, то
\angle APB=\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\angle AOB=\frac{1}{3}\angle AOB.