13484. Пусть a
, b
, c
— стороны, а \alpha
, \beta
, \gamma
— противолежащие им углы треугольника. Докажите, что если
ab^{2}\cos\alpha=bc^{2}\cos\beta=ca^{2}\cos\gamma,
то треугольник равносторонний.
Решение. Из теоремы косинусов следует, что равенство ab^{2}\cos\alpha=bc^{2}\cos\beta
можно переписать в виде
ab^{2}\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)=bc^{2}\left(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\right),
или
a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})=c^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})~\Leftrightarrow~a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}=a^{4}+c^{4}.
Аналогично,
b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}=a^{4}+b^{4},~a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}=b^{4}+c^{4}.
Сложив эти три равенства, получим
2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}=2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}=0.
Следовательно, a=b=c
. Что и требовалось доказать.