13491. Точки E
и D
середины диагоналей соответственно AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, O
— точка пересечения диагоналей, точки H
, K
, L
и M
— середины сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно, а G
— вершина параллелограмма FOEG
. Докажите, что прямые GH
, GK
, GL
и GM
разбивают четырёхугольник ABCD
на четыре равновеликие части.
Решение. Достаточно доказать, что площадь каждой такой части равна четверти площади данного четырёхугольника.
Поскольку прямые EG
и KL
параллельны, четырёхугольник CKGL
равновелик четырёхугольнику CKEL
. Значит,
S_{CKGL}=S_{CKEL}=S_{\triangle CKE}+S_{\triangle CLE}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{4}S_{\triangle ADC}=
=\frac{1}{4}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC})=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
Аналогично для остальных частей.