1350. В окружность вписан четырёхугольник ABCD
, диагонали которого пересекаются в точке M
. Известно, что AB=a
, CD=b
, \angle AMB=\alpha
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}}{2\sin\alpha}
.
Указание. Отложите на дуге ABC
дугу CK
, равную AB
, и рассмотрите треугольник DCK
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Отметим на дуге ABC
такую точку K
, что дуга KC
равна дуге AB
. Тогда AB
и CK
— диагонали равнобедренной трапеции, поэтому CK=AB=a
, а так как BK\parallel AM
, то
\angle DCK=\angle DBK=180^{\circ}-\angle AMB=180^{\circ}-\alpha.
Из треугольника DCK
по теореме косинусов находим, что
DK^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ}-\alpha)=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha.
Пусть R
— радиус описанной окружности данного четырёхугольника. Тогда
R=\frac{DK}{2\sin\angle DCK}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}}{2\sin\alpha}.
Аналогично для любого другого случая.