13502. Из точки P
, лежащей внутри остроугольного треугольника ABC
, опущены перпендикуляры PD
, PE
и PF
на стороны AB
, BC
и AC
соответственно. Найдите геометрическое место точек P
, для которых треугольник DEF
равнобедренный. Для каких P
этот треугольник равносторонний?
Ответ. Объединение лежащих внутри данного треугольника трёх дуг окружностей Аполлония.
Точка пересечения этих трёх дуг.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а BC=a
, AC=b
и AB=c
.
Из точек D
и F
отрезок AP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AP
. По теореме синусов DF=AP\sin\alpha
. Аналогично, DE=BP\sin\beta
и EF=CP\sin\gamma
.
Если DF=DE
, то AP\sin\alpha=BP\sin\beta
, а так как по теореме синусов \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{BC}
, то
\frac{AP}{BP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}.
Следовательно, точка P
лежит на окружности Аполлония отрезка AB
и отношения \frac{b}{a}
, т. е. на окружности с диаметром KL
, где K
и L
— точки пересечения с прямой AB
биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине C
треугольника ABC
(см. задачу 2444). Аналогично для случаев ED=EF
и FD=FE
.
Точка P
лежит внутри треугольника, поэтому геометрическое точек P
, для которых треугольник DEF
равнобедренный, — фигура, состоящая из трёх расположенных внутри треугольника ABC
дуг таких окружностей Аполлония.
Треугольник DEF
равносторонний, если P
— точка пересечения этих трёх дуг.