13512. Точки M_{1}
, M_{2}
, M_{3}
, M_{4}
и M
расположены на одной окружности. Докажите, что произведение расстояний от точки M
до прямых M_{1}M_{2}
и M_{3}M_{4}
равно произведению расстояний от точки M
до прямых M_{1}M_{3}
и M_{2}M_{4}
.
Решение. Воспользуемся известной формулой площади треугольника: abc=4SR
, где a
, b
и c
— стороны треугольника, S
— его площадь, а R
— радиус описанной окружности (см. задачу 4259).
Пусть h_{12}
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на прямую M_{1}M_{2}
. Аналогично определим h_{34}
, h_{13}
и h_{24}
. Из треугольника MM_{1}M_{2}
получаем
MM_{1}\cdot MM_{2}\cdot M_{1}M_{2}=4\cdot\frac{1}{2}M_{1}M_{2}\cdot h_{12}\cdot R,
откуда h_{12}=\frac{M_{1}M_{2}}{2R}
. Аналогично, из треугольников MM_{3}M_{4}
, MM_{1}M_{3}
и MM_{2}M_{4}
получаем
h_{34}=\frac{M_{3}M_{4}}{2R},~h_{13}=\frac{M_{1}M_{3}}{2R},~h_{24}=\frac{M_{2}M_{4}}{2R}.
Значит,
h_{12}\cdot h_{34}=\frac{M_{1}M_{2}}{2R}\cdot\frac{M_{3}M_{4}}{2R}=\frac{M_{1}M_{2}\cdot M_{3}M_{4}}{4R^{2}}.
Аналогично, h_{13}h_{24}=\frac{M_{1}M_{2}\cdot M_{3}M_{4}}{4R^{2}}
. Следовательно, h_{12}\cdot h_{34}=h_{13}h_{24}
. Что и требовалось доказать.