13517. В неравностороннем треугольнике ABC
угол при вершине B
равен 60^{\circ}
, A_{1}
— произвольная точка прямой AB
, отличная от A
и B
, C
— произвольная точка прямой BC
, отличная от B
и C
.
а) Докажите, что прямые Эйлера треугольников ABC
и A'BC'
параллельны или совпадают.
б) Для случая совпадения докажите, что описанные окружности всех таких треугольников A'BC'
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в одной и той же точке.
Решение. Пусть M
— середина стороны AC
, D
— середина дуги AC
, не содержащей точку B
, а O
, G
и H
— соответственно центр описанной окружности, точка пересечения медиан и ортоцентр треугольника ABC
. Точки O
, G
и H
лежат на прямой Эйлера l
треугольника ABC
.
а) Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Поскольку OM
— биссектриса центрального угла AOC
, соответствующего вписанному углу ABC
, то
\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOC=60^{\circ}.
Значит, равнобедренный треугольник AOD
— равносторонний, поэтому OD=OA=R
. Из прямоугольного треугольника AMO
получаем, что OM=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}R
, а так как BH=2OM=R
(см. задачу 1257) и BH\parallel OD
, то BODH
— ромб (параллелограмм, у которого BO=OD=R
. Следовательно, прямая l
, содержащая диагональ OH
ромба, делит пополам его диагональ BD
, т. е. прямая Эйлера l
такого треугольника есть серединный перпендикуляр к прямой, содержащей биссектрису угла B
.
Из таких же рассуждений для треугольника A'BC'
вытекает, что прямая Эйлера l'
треугольника A'BC'
перпендикулярна той же прямой, что и прямая l
. Следовательно, прямые l
и l'
параллельны или совпадают.
б) Если прямые l
и l'
совпадают, то на прямой l
(т. е. на серединном перпендикуляре к отрезку BD
) лежат оба центра O
и O'
описанных окружностей треугольников ABC
и A'BC'
. Значит, O'B=O'D
. Следовательно, любая описанная окружность такого треугольника A'BC'
проходит через точку D
.