13544. В равнобедренном треугольнике ABC
угол при вершине A
равен 120^{\circ}
. Точки P
и Q
лежат на боковых сторонах AB
и AC
соответственно, причём PQ
— касательная к вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что произведение BP\cdot CQ
равно удвоенной площади четырёхугольника BPCQ
.
Решение. Пусть BP=p
, CQ=q
, AB=AC=1
(тогда BC\sqrt{3}
). По свойству вписанного четырёхугольника
PQ+BC=BP+CQ~\Rightarrow~PQ=p+q-\sqrt{3}.
По теореме косинусов
(p+q-\sqrt{3})^{2}=(1-p)^{2}+(1-g)^{2}+(1-p)(1-q).
После очевидных упрощений получаем
pq=\sqrt{3}(2-\sqrt{3})(p+q)~\Rightarrow~p+q=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}pq,
Следовательно,
S_{PBCQ}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}\sin120^{\circ}-\frac{1}{2}(1-p)(1-q)\sin120^{\circ}=
=\frac{\sqrt{3}}{4}(p+q-pq)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-1\right)pq=\frac{1}{2}pq=\frac{1}{2}BP\cdot CQ.
Что и требовалось доказать.