13561. Дан треугольник ABC
с тупым углом при вершине A
. Точки I
и O
— центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Известно, что S_{\triangle IBC}=S_{\triangle OBC}
. Докажите, что
S_{\triangle IAB}+S_{\triangle IOC}=S_{\triangle ICA}+S_{\triangle IBO}.
Решение. Обозначим AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть M
— середина стороны BC
, N
, X
и Y
— точки касания вписанной окружности со сторонами BC
, AB
и AC
соответственно, а радиус вписанной окружности равен r
. Поскольку треугольники IBC
и OBC
равновелики, OM=IN=r
. Тогда
c+CN=AB+CN=BX+XA+CN=p=
=BN+YA+CY=BN+CY+AC=BN+b,
поэтому
S_{\triangle IAB}+S_{\triangle ICN}=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}CNr=\frac{1}{2}r(c+CN)=
=\frac{1}{2}(b+BN)=\frac{1}{2}rb+\frac{1}{2}rc=S_{\triangle ICA}+S_{\triangle IBN}.
Следовательно,
S_{\triangle IAB}+S_{\triangle IOC}=S_{\triangle IAB}+S_{\triangle ICN}+S_{\triangle COM}=
=S_{\triangle ICA}+S_{\triangle IBN}+S_{\triangle BOM}=S_{\triangle ICA}+S_{\triangle IBO}.