13579. Дана трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
. Точка X
лежит на отрезке AB
. Прямые AD
и BC
пересекаются в точке P
, прямые CD
и PX
— в точке Y
, прямые AY
и BD
— в точке R
, прямые PR
и AB
— в точке T
. Докажите, что \frac{1}{AT}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AX}
.
Решение. По теореме Менелая для треугольника ABD
и прямой PT
получаем
\frac{AT}{TB}\cdot\frac{BR}{RD}\cdot\frac{DP}{PA}=1.
Треугольник ARB
подобен треугольнику YRD
, а треугольник DPY
— треугольнику APX
, поэтому
\frac{BR}{RD}=\frac{AB}{DY},~\frac{DP}{PA}=\frac{DY}{AX}.
Значит,
\frac{TB}{AT}=\frac{BR}{RD}\cdot\frac{DP}{PA}=\frac{AB}{DY}\cdot\frac{DY}{AX}=\frac{AB}{AX}.
Тогда
\frac{AB}{AT}=\frac{TB+AT}{AT}=\frac{TB}{AT}+1=\frac{AB}{AX}.
Следовательно,
\frac{1}{AT}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AX}.
Что и требовалось доказать.