13585. Диаметр полуокружности с центром O
лежит на прямой l
. Через точки C
и D
, лежащие на полуокружности, проведены к ней касательные, пересекающие прямую l
в точках A
и B
соответственно, причём центр полуокружности лежит на отрезке AB
. Отрезки AC
и BD
пересекаются в точке E
, а F
— проекция точки E
на прямую l
. Докажите, что луч EF
— биссектриса угла CFD
.
Указание. Точки E
, F
и точка пересечения прямых BC
и AD
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть прямые BC
и AD
пересекаются в точке P
, прямая PE
пересекает прямую l
в точке Q
, PT
— высота треугольника APB
, а EF
— высота треугольника AEB
. Докажем, что точки Q
и T
совпадают, откуда будет следовать, что точки P
, E
и F
лежат на одной прямой.
По теореме Чевы
1=\frac{BQ}{QA}\cdot\frac{AD}{DP}\cdot\frac{PC}{CB}=\frac{BQ}{QA}\cdot\frac{AD}{CB}
(DP=PC
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), поэтому \frac{BQ}{QA}=\frac{BC}{AD}
.
Отрезок PO
— биссектриса треугольника APB
, поэтому \frac{PB}{PA}=\frac{BO}{OA}
Обозначим \angle BAP=\alpha
, \angle ABP=\beta
. Тогда из прямоугольных треугольников BCO
, ADO
, BTP
и ATP
получаем
\frac{BC}{AD}=\frac{BO\cos\beta}{AO\cos\alpha}=\frac{BO}{AO}\cdot\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\frac{PB}{PA}\cdot\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\frac{PB\cos\beta}{PA\cos\alpha}=\frac{BT}{TA}.
Таким образом, \frac{BQ}{QA}=\frac{BT}{TA}
. Следовательно, точки Q
и T
совпадают, и точки P
, E
и F
лежат на одной прямой.
Из точек C
, D
и F
отрезок PO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OP
. Тогда
\angle CFE=\angle CFP=\angle CDP=\angle DCP=\angle DFP=\angle DFE.
Следовательно, EF
— биссектриса угла CFD
. Что и требовалось доказать.