13590. Дан треугольник ABC
, в котором \angle B=2\angle C
, AH
— высота, а D
— точка касания вневписанной окружности со стороной BC
. Докажите, что AC=2HD
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle B=\beta
, p
— полупериметр треугольника.
На продолжении стороны BC
за точку B
отложим отрезок BC'=AB=c
. Треугольник ABC'
равнобедренный, а ABC
— его внешний угол, поэтому
\angle AC'B=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{\beta}{2}=\angle ACC'.
Значит, треугольник ACC'
— тоже равнобедренный, AC'=AC
. Его высота AH
является медианой, поэтому
HC=\frac{1}{2}CC'=\frac{1}{2}(BC+BC')=\frac{1}{2}(a+c).
Пусть P
— точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны AC
за точку C
. Тогда
CD=CP=AP-AC=p-b=\frac{1}{2}(a+c-b)
(см. задачу 1750). Следовательно,
HD=HC-CD=\frac{1}{2}(a+c)-\frac{1}{2}(a+c-b)=\frac{b}{2}=\frac{1}{2}AC.
Что и требовалось доказать.