13607. Полуокружность с центром в середине O
стороны AB
четырёхугольника ABCD
касается трёх остальных его сторон. Докажите, что AB^{2}=4AD\cdot BC
.
Решение. Пусть E
и G
— точки касания полуокружности со сторонами AD
и BC
соответственно. Прямоугольные треугольники AEO
и BGO
равны по катету и гипотенузе, поэтому \angle DAO=\angle CBO
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Обозначим
\angle ADO=\angle CDO=\varphi,~\angle DCO=\angle BCO=\psi,~\angle BAD=\angle ABC=\theta.
Тогда
2\varphi+2\psi+2\theta=360^{\circ}~\Rightarrow\varphi+\psi+\theta=180^{\circ}.
Это означает, что треугольники AOD
, OCD
и BCO
подобны. Следовательно,
\frac{AD}{AO}=\frac{OB}{BC}~\Rightarrow~AD\cdot BC=AO\cdot OB=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB^{2}.
Что и требовалось.