13608. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором AD=\sqrt{3}
, AB+CD=2AD
, \angle A=60^{\circ}
и \angle D=120^{\circ}
. Найдите отрезок, соединяющий точку с серединой стороны BC
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Прямые CD
и AB
параллельны, так как
\angle DAB+\angle BAD=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, ABCD
— трапеция или параллелограмм, а \angle DEF=60^{\circ}
.
Соединим середину F
стороны BC
с серединой E
стороны AD
. Тогда
EF=\frac{1}{2}(AB+CD)=AD=\sqrt{3}.
По теореме косинусов
DF^{2}=ED^{2}+EF^{2}-2ED\cdot EF\cos60^{\circ}=\frac{3}{4}+3-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{9}{4}.
Следовательно, DF=\frac{3}{2}
.