13615. Точка D
лежит на продолжении стороны BC
треугольника ABC
за точку C
, причём CD=AC
. Описанная окружность треугольника ACD
и окружность с диаметром BC
вторично пересекаются в точке P
. Прямые BP
и AC
пересекаются в точке E
, а прямые CP
и AB
— в точке F
. Докажите, что точки D
, E
и F
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть прямые AP
и BD
пересекаются в точке G
. Четырёхугольник APCD
вписанный, а треугольник ACD
равнобедренный, поэтому
\angle GPC=\angle CDA=\angle CAD=\angle CPD.
Значит, PC
— биссектриса угла DPG
, а так как \angle BPC=90^{\circ}
, то PB
— биссектриса угла, смежного с углом DPG
. Тогда (см. задачи 1509 и 1645) \frac{GC}{CD}=\frac{BG}{BD}
, или \frac{BG}{GC}=-\frac{BD}{DC}
, если учитывать направления отрезков.
По теореме Чевы из треугольника ABC
получаем
\frac{BG}{GC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1.
Значит,
\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1.
Следовательно, по теореме Менелая точки D
, E
и F
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.