13641. Вне данной окружности \Gamma
расположены фиксированные точки A
и B
. Постройте на окружности \Gamma
точку C
, для которой отрезки AC
и BC
вторично пересекают \Gamma
в точках D
и E
соответственно, причём DE\parallel AB
.
Решение. Предположим, искомая точка C
построена. Пусть прямые, проведённые через точки A
и B
касаются окружности \Gamma
в точках P
и Q
соответственно. Тогда по теореме о касательной и секущей
AP^{2}=AC\cdot AD,~BQ^{2}=BC\cdot BE,
поэтому, учитывая параллельность DE
и BC
, получим
\frac{AP^{2}}{BQ^{2}}=\frac{AC\cdot AD}{BC\cdot BE}=\frac{AC}{BC}\cdot\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}\cdot\frac{AC}{BC}=\left(\frac{AC}{BC}\right)^{2},
откуда \frac{AC}{BC}=\frac{AP}{BQ}=k
, где число k
зависит только от расположения точек A
и B
и окружности \Gamma
. Таким образом, точка C
лежит на окружности Аполлония отрезка AB
и отношения k
(см. задачу 2444).
Отсюда вытекает следующее построение. Через данные точки A
и B
проводим касательные AP
и BQ
к данной окружности \Gamma
(см. задачу 1738). Затем строим окружность Аполлония для отрезка AB
и отношения \frac{AP}{PQ}
(см. задачу 1826).
Каждая точка пересечения этой окружности с окружностью \Gamma
есть искомая точка C
.