13644. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC
, касается гипотенузы в точке D
. Точки E
и F
— проекции точки D
на катеты AB
и AC
соответственно, AH
— высота треугольника ABC
. Докажите, что площадь прямоугольника AEDF
равна \frac{1}{2}AH^{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
CD=p-AB=p-c=\frac{a+b-c}{2},~BD=p-AC=p-b=\frac{a+c-b}{2}.
Треугольник BED
подобен треугольнику BAC
с коэффициентом \frac{BD}{BC}=\frac{a+c-b}{2a}
, поэтому
DE=AC\cdot\frac{a+c-b}{2a}=\frac{b}{a}\cdot\frac{a+c-b}{2}.
Аналогично,
DF=\frac{c}{a}\cdot\frac{a+b-c}{2}.
Пусть S
— площадь прямоугольника AEFD
. Тогда
S=DE\cdot DF=\frac{b}{a}\cdot\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a+b-c}{2}=\frac{(a+c-b)(a+b-c)bc}{4a^{2}}=
=\frac{a^{2}-(c-b)^{2}}{4a^{2}}\cdot bc=\frac{a^{2}-c^{2}+2bc-b^{2}}{4a^{2}}\cdot bc=
=\frac{2bc}{4a^{2}}\cdot bc=\frac{2b^{2}c^{2}}{4a^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a}\right)^{2}=\frac{1}{2}AH^{2}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть \angle B=beta
, \angle C=\gamma
, а r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, I
— центр окружности, S
— площадь прямоугольника AEFD
.
Опустим перпендикуляр IT
на AH
. Тогда
\frac{1}{2}AH^{2}=\frac{1}{2}(TH+TA)^{2}=\frac{1}{2}(IA\cos(45^{\circ}-\beta)+IDF)^{2}=
=\frac{1}{2}(r\sqrt{2}\cos(45^{\circ}-\beta)+r)^{2}=\frac{1}{2}r^{2}(1+\cos\beta+\sin\beta)^{2}=
=\frac{r^{2}}{2}(1+\cos^{2}\beta+\sin^{2}\beta+2\cos\beta+2\sin\beta+2\cos\beta\sin\beta)=
=r^{2}(1+\cos\beta+\sin\beta+\cos\beta\sin\beta)=r^{2}(1+\cos\beta)(1+\sin\beta)=
=(r+r\cos\beta)(r+r\sin\beta)=DE\cdot AE=S.
Что и требовалось доказать.