13646. Из точки P
, лежащей вне окружности S
, проведены к окружности касательные PA
и PB
(A
и B
— точки касания). Прямая, проходящая через точку Q
, лежащую на окружности S
, пересекает прямые OA
и OB
в точках T
и U
соответственно. Докажите, что OT\cdot OU=OP^{2}
.
Решение. Заметим, что точки T
и U
существуют, только если точка Q
отлична от A
и B
.
Рассмотрим случай, когда точка Q
лежит на большей дуге AB
окружности S
. Для случая, когда Q
на меньшей дуге AB
, решение аналогично.
Докажем, что треугольник OPU
подобен треугольнику OTP
.
Поскольку PA
и PB
— касательные к окружности S
, то \angle POA=\angle POB
, а так как \angle AOU=\angle BOT
, то \angle UOP=\angle POT
.
Из точек A
и Q
отрезок PT
виден под прямым углом, поэтому, четырёхугольник APTQ
вписанный. Значит,
\angle OTP=\angle ATP=\angle AQP=\angle AQB-\angle PQB.
Из точек B
и Q
отрезок PU
виден под прямым углом, поэтому, четырёхугольник BPUQ
тоже вписанный. Значит, \angle BQP=\angle BUP
.
Вписанный в окружность S
угол AQB
равен половине центрального угла AOB
, поэтому
\angle AQB=\frac{1}{2}\angle AOB=\angle BOP.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle OPU=\angle BOP-\angle BUP=\angle AQB-\angle PQB=\angle OTP.
Таким образом, треугольник OPU
подобен треугольнику OTP
по двум углам. Значит, \frac{OU}{OP}=\frac{OP}{OT}
. Следовательно, OT\cdot OU=OP^{2}
. Что и требовалось доказать.