13655. Диагональ AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
разбивает его на два равновеликих треугольника. Прямые, проходящие через точку E
пересечения диагоналей параллельно отрезкам AD
, DC
, CB
и BA
, пересекают стороны AB
, BC
, CD
и DA
а точках K
, L
, M
и N
соответственно. Найдите отношение площадей четырёхугольников KLMN
и ABCD
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Высоты BB'
и DD'
равновеликих треугольников, опущенных на общее основание AC
равны, поэтому равны прямоугольные треугольники BB'E
и DD'E
. Значит, равны гипотенузы BE
и DE
, т. е. E
— середина диагонали BD
. Тогда по теореме Фалеса точки K
, L
, M
и N
— середины сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Значит, площадь четырёхугольника KLMN
вдвое меньше площади четырёхугольника ABCD
(см. задачу 3019).