13679. На отрезке AB
отмечена точка P
, а на отрезках AP
и BP
по одну сторону от прямой AB
построены полуокружности различных радиусов a
и b
соответственно. Прямая касается полуокружностей в различных точках G
и H
соответственно и пересекает прямые, проходящие через точки A
и B
перпендикулярно AB
, в точках D
и C
соответственно. Прямая GH
пересекает отрезок BC
. В каком отношении она его делит?
Ответ. BI:BC=b^{2}:a^{2}
.
Решение. Из условия следует, что a\gt b
. Пусть E
и F
— центры полуокружностей с диаметрами AP
и BP
соответственно, I
и J
— точка пересечения прямой GH
с отрезком BC
и прямой AB
соответственно. Обозначим BC=AD=x
, BI=y
и BJ=z
.
Из подобия прямоугольных треугольников IBJ
получаем
\frac{y}{x}=\frac{z}{z+2a+2b},
а из подобия прямоугольных треугольников GIJ
и HFJ
—
\frac{a}{b}=\frac{z+2b+a}{z+b}.
Из первого равенства находим, что
z=\frac{2(a+b)y}{x-y}=\frac{2(a+b)\cdot\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}},
а из второго —
z=\frac{2b^{2}}{a-b}.
Приравнивая правые части этих равенств, получаем уравнение
\frac{2(a+b)\cdot\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}=\frac{2b^{2}}{a-b},
Из которого находим, что \frac{y}{x}=\frac{b^{2}}{a^{2}}
.