13684. Даны окружность S
и точка A
вне её. Для каждой точки P
, лежащей на окружности, строится квадрат APQR
(вершины перечислены против часовой стрелки). Найдите геометрическое место точек Q
Ответ. Окружность.
Решение. Пусть O
— центр окружности S
, R
— её радиус. Построим квадрат AOXY
(стороны перечислены тоже против часовой стрелки). Треугольники APQ
и AOX
равнобедренные и прямоугольные, поэтому они подобны. Тогда \frac{AO}{AP}=\frac{AX}{AQ}
и
\angle OAP=\angle OAX-\angle PAX=45^{\circ}-\angle PAX=\angle QAP-\angle PAX=\angle XAQ.
Значит, подобны треугольники AOP
и AXQ
. Тогда
\frac{OP}{XQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{1}{\sqrt{2}}~\Rightarrow~XQ=OP\sqrt{2}=r\sqrt{2}.
Таким образом, если точка Q
описывает окружность S
, то точка Q
описывает окружность радиуса r\sqrt{2}
с центром X
. Следовательно, искомое ГМТ — окружность радиуса r\sqrt{2}
с центром X
в вершине квадрата AOXY
.