13713. На стороне AB
квадрата ABCD
как на диаметре построена вне квадрата полуокружность. Для какой её точки P
сумма AP^{2}+CP^{2}
максимальна?
Ответ. P
— середина полуокружности.
Решение. Пусть сторона квадрата равна 2, а O
— середина стороны AB
данного квадрата. Введём прямоугольную систему координат xOy
так, чтобы точки A
, C
и P
имели координаты A(-1;0)
, C(-2;1)
, P(\cos t;\sin t)
, где 0^{\circ}\leqslant t\leqslant180^{\circ}
. Тогда
AP^{2}+CP^{2}=(\cos t+1)^{2}+\sin^{2}t+(1-\cos t)^{2}+(2+\sin t)^{2}=8+4\sin t\leqslant8,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда t=90^{\circ}
. Следовательно, t
— середина полуокружности.