13720. Рассмотрим окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
разных радиусов с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Их общие внешние касательные t_{1}
и t_{2}
пересекаются в точке Q
, а одна из общих внутренних касательных пересекает t_{1}
и t_{2}
в точках E_{1}
и E_{2}
соответственно. Пусть P
— середина отрезка O_{1}O_{2}
. Докажите, что точки P
, Q
, E_{1}
и E_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Без ограничения общности считаем, что радиус окружности \Gamma_{2}
меньше радиуса окружности \Gamma_{1}
. Тогда \Gamma_{2}
— вписанная окружность треугольника QE_{1}E_{2}
, а \Gamma_{1}
— вневписанная окружность этого треугольника, касающаяся стороны E_{1}E_{2}
. По теореме Мансиона (см. задачу 57) описанная окружность треугольника QE_{1}E_{2}
проходит через середину P
стороны O_{1}O_{2}
. Отсюда следует утверждение задачи.