13723. Точка D
— основание биссектрисы треугольника ABC
, проведённой из вершины B
, а точка E
лежит на стороне AB
, причём 3\angle ACE=2\angle BCE
. Отрезки BD
и CE
пересекаются в точке P
. Известно, что ED=DC=CP
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=45^{\circ}
, \angle B=60^{\circ}
, \angle C=75^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ABD=\angle CBD=\beta
. Пусть 3\angle ACE=2\angle BCE=6\alpha
. Тогда \angle ACE=2\alpha
и \angle BCE=3\alpha
. Треугольник CDP
равнобедренный, поэтому \angle CPD=\angle CDP
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CPD=\angle BCP+\angle CBP=3\alpha+\beta.
С другой стороны
\angle CPD=\angle CDP=\angle BAD+\angle ABD=\angle BAC+\beta.
Из равенства
3\alpha+\beta=\angle BAC+\beta
получаем, что \angle BAC=3\alpha
. Тогда, так как DE=DC
, то
\angle BED=\angle BEC+\angle CED=5\alpha+2\alpha=7\alpha.
По теореме синусов из треугольников BDE
и BDC
получаем
\frac{\sin\angle BED}{BD}=\frac{\sin\angle DBE}{DE}=\frac{\sin\angle CBD}{DC}=\frac{\sin\angle BCD}{BD},
откуда \sin\angle BED=\sin\angle BCD
. Значит, либо \angle BED=\angle BCD
, либо \angle BED+\angle BCD=180^{\circ}
. Поскольку \angle BED=7\alpha
, а \angle BCD=5\alpha
, то \angle BED\ne\angle BCD
, поэтому
\angle BED+\angle BCD=180^{\circ},~7\alpha+5\alpha=180^{\circ},~\alpha=15^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAC=3\alpha=45^{\circ},~\angle ACB=5\alpha=75^{\circ},~\angle ABC=60^{\circ}.