13743. Точки E
и F
лежат на сторонах соответственно AB
и AD
прямоугольника ABCD
. Площадь треугольника CEF
втрое меньше площади прямоугольника. Докажите, что \angle ECF\leqslant30^{\circ}
.
Решение. Обозначим AB=a
, BC=b
, \angle BCE=\alpha
, \angle DCF=\beta
, \angle ECF=\theta
. Тогда
\cos(\alpha+\beta)=\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta,
ab=S_{ABCD}=3S_{\triangle CEF}=3\cdot\frac{1}{2}CE\cdot CF\sin\theta=\frac{3}{2}\cdot\frac{b}{\cos\alpha}\cdot\frac{a}{\cos\beta}\cdot\sin\theta=
=\frac{3ab\sin\theta}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}=\frac{3ab\sin\theta}{\sin\theta+\cos(\alpha-\beta)},
откуда
\sin\theta=\frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)\leqslant\frac{1}{2}.
Значит, \theta\geqslant\frac{1}{2}
. Следовательно, \theta\leqslant30^{\circ}
. то и требовалось доказать.
Заметим, что равенство достигается при \theta=30^{\circ}
.