13746. Точки H
и O
— соответственно ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Точка D
лежит на стороне AC
, причём CD=2AD
, прямая DO
пересекает сторону BC
в точке E
, а HO\parallel BC
. Докажите, что: а) DO=OE
; б) DE=CE
.
Решение. а) Пусть прямые OH
и AC
пересекаются в точке L
, а A'
— проекция точки O
на прямую BC
. Тогда AH\parallel OA'
и AH=2OA
(см. задачу 1257), а AL=2CL
. Значит,
AD=DL=LC,
и по теореме Фалеса O
— середина отрезка DE
. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку AO=OC
(как радиусы описанной окружности треугольника ABC
) и \angle OCA=\angle OAC
(как углы при основании равнобедренного треугольника AOC
), а AL=CD
(по доказанному в предыдущем пункте), то треугольники AOL
и COD
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда OL=OD
и \angle OLD=\angle ODL
. Кроме того, \angle OLD=\angle ECD
, поэтому
\angle EDC=\angle ODL=\angle ECD,
и треугольник ECD
равнобедренный с основанием CD
. Следовательно, DE=CE
. Что и требовалось доказать.