13756. В треугольнике ABC
известно, что AB\lt AC
, I
— центр вписанной окружности, а M
— середина стороны BC
; прямые IM
и AB
пересекаются в точке D
, а прямая CI
и прямая, проведённая через точку B
перпендикулярно прямой AI
, — в точке E
. Докажите, что DE\parallel AC
.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
и AB=c
. Пусть прямая AI
пересекает сторону BC
в точке A'
, а прямая BE
пересекает сторону AC
в точке B'
.
Биссектриса треугольника BAB'
, проведённая из вершины A
, является высотой, поэтому
AB'=AB=c~\Rightarrow~B'C=AC-AB'=b-c.
Поскольку CE
— биссектриса треугольника BCB'
, то (см. задачу 1509)
\frac{BE}{EB'}=\frac{BC}{CB'}=\frac{a}{b-c},
а так как AA'
— биссектриса треугольника ABC
, то
\frac{BA'}{A'C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},
поэтому BA'=\frac{ac}{b+c}
.
По теореме Менелая для треугольника ABA'
и прямой DI
получаем
\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BM}{MA'}\cdot\frac{A'I}{IA}=1,
откуда
\frac{BD}{DA}=\frac{BM}{MA'}\cdot\frac{A'I}{IA}=\frac{BM}{BM-BA'}\cdot\frac{BA'}{BA}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}-\frac{ac}{b+c}}\cdot\frac{\frac{ac}{b+c}}{c}=
=\frac{a}{b+c-2c}=\frac{a}{b-c}=\frac{BE}{EB'}.
Следовательно, DE\parallel AC
. Что и требовалось доказать.