13763. Пусть O
и H
— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного треугольника ABC
. Докажите, что существуют точки D
, E
и F
на сторонах AB
, CA
и AB
соответственно, для которых OD+DH=OE+EH=OF+FH
и прямые AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть AH
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке H'
. Тогда точки H
и H'
симметричны относительно прямой BC
(см. задачу 47855). Поскольку треугольник остроугольный, точки O
и H'
лежат по разные стороны от прямой BC
, поэтому отрезок OH'
пересекает сторону BC
в некоторой точке D
. При этом из симметрии DH=DH'
, поэтому
OD+DH=OD+DH'=R,
где R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Аналогично строятся точки E
и F
на сторонах AC
и AB
соответственно. Тогда
OD+DH=OE+EH=OF+FH=R.
Пусть K
и K'
— точки, диаметрально противоположные точкам H'
и A
. Тогда AKK'H'
— прямоугольник с центром O
, стороны которого параллельны AH
и BC
, и прямая AO
пересекает сторону BC
в точке D'
, симметричной D
относительно середины BC
. Аналогично для точек E'
и F'
, в которых прямые BO
и CO
пересекают стороны AC
и AB
соответственно.
Прямые AO
, BO
и CO
пересекаются в одной точке, поэтому по теореме Чевы
\frac{BD'}{D'C}\cdot\frac{CE'}{E'A}\cdot\frac{AF'}{F'B}=1,
а так как BD'=CD
и D'C=DB
, то \frac{BD'}{D'C}=\frac{CD}{DB}
. Аналогично,
\frac{CE'}{E'A}=\frac{AE}{EC},~\frac{AF'}{F'B}=\frac{BF}{FA}.
Значит,
\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}\cdot\frac{AE}{EC}=\frac{CD}{DB}\cdot\frac{AE}{EC}\cdot\frac{BF}{FA}=
=\frac{BD'}{D'C}\cdot\frac{CE'}{E'A}\cdot\frac{AF'}{F'B}=1.
Следовательно, по теореме Чевы прямые AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке.