13780. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Окружность с диаметром AB
пересекает сторону AC
в точке P
. Точка D
— вершина параллелограмма PMCD
. Докажите что треугольники APD
и APM
равны.
Решение. Пусть Q
— точка пересечения AC
и MD
. Поскольку PMCD
— параллелограмм, то MQ=QD
, а так как PD\parallel BM
и PD=MC=BM
, то BMDP
— тоже параллелограмм. Значит, MD\parallel BP
.
Точка P
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому AP\perp AC
. Значит, AC\perp MD
. Следовательно, прямая AC
— серединный перпендикуляр к отрезку MD
. Тогда AM=AD
и PM=PD
, и треугольники APD
и APM
равны по трём сторонам.
Примечание. В оригинальном условии дано лишнее условие AC=BC
.